인벌류트 곡선 (정의와 원리, 인벌류트 함수, 사이클로이드 곡선과의 차이)

이번에는 기어의 치형에 주로 적용되는 인벌류트 곡선(involute curve)과 치형에 대해 알려드리겠습니다. 

 

혹시나 인벌류트 곡선을 그리는 방법이 궁금하신 분들은 아래 포스팅을 참고해주시기 바랍니다.

인벌류트 커브(곡선) 그리는 방법 :: AUTOCAD

 

 

 

인벌류트 곡선이란?

'원통에 감겨있는 실을 팽팽하게 잡아당기면서 풀어나갈 때, 실의 끝점이 그려나가는 궤적을 인벌류트 곡선(involute curve)'이라고 합니다. 여기서 원통(원)을 기초원(base circle)이라고 부릅니다. 아래 그림의 빨간색 선이 인벌류트 곡선입니다.

 

인벌류트 곡선과 기초원

 

그런데 인벌류트 곡선이 그려지는 게 위 설명으로 잘 이해되지 않으신다면, 다음 방법으로도 생각해볼 수 있습니다. '기초원과 한 점에 접촉해있는 접선이 미끄러지지 않고 기초원 위를 구를 때, 접선의 끝점이 그리는 궤적도 인벌류트 곡선'이 됩니다. 이 접선은 인벌류트 기어가 맞물려 돌아가는 작용선이 됩니다.

 

그리고 아래 그림과 같이 실처럼 감겨있던 QO'(호)가 풀려서 QP(직선)처럼 된 것이기 때문에, QO'(호)와 QP(직선)의 길이는 같습니다. 즉, 인벌류트 곡선과 기초원 사이에는 다음과 같은 간단한 수식 관계가 성립합니다.

 

L = 2πR x α/360

여기서 R은 기초원 반지름, α는 압력각이며 단위는 degree 입니다.

 

인벌류트 곡선과 기초원

 

 

 

인벌류트 곡선 함수

인벌류트 곡선상의 점들은 x, y의 2차원 좌표값을 가지며 x, y값은 몇 가지 변수와 관계된 함수로 나타낼 수 있습니다.

 

x = COSα + (α x SINα)

y = SINα - (α x COSα)

단, α는 rad 단위

 

위 인벌류트 함수 식을 통해 변수인 압력각(α)에 따른 곡선의 x, y 좌표값을 구할 수 있습니다. 즉, 함수를 통해 인벌류트 포인트를 나열하면 곡선을 그려낼 수 있습니다.

 

인벌류트 곡선 위 포인트 좌표

 

인벌류트 치형

말 그대로 인벌류트 곡선이 적용된 기어의 치형을 인벌류트 치형(involute tooth)이라고 합니다. 기초원 원주상의 한 점에서 접선방향으로 직선을 그었을 때, 인벌류트 곡선과 만나는 점이 기어가 맞물리는 피치점(pitch point)이 되고 이 직선이 바로 기어 간의 공통법선인 작용선이 됩니다. 즉, 기어가 맞물려 돌아가기 위한 조건인 카뮈의 정리(theory of Camus)를 만족한다고도 할 수 있습니다.

 

카뮈의 정리(theory of Camus) : 한 쌍의 기어가 일정한 각속도 비로 회전하면서 맞물려 돌아가기 위해서는, 두 기어의 공통법선이 피치점을 통과해야 한다.

 

 

 

 

인벌류트 기어와 사이클로이드 기어의 차이/비교

항목	인벌류트 기어	사이클로이드 기어
압력각	압력각이 일정	압력각이 변화
조건	압력각과 모듈이 동일 (기어 간)	원주피치가 동일 (기어 간)
언더컷	발생 가능	없음
조립성	기어간 중심거리 오차가 허용되므로 조립이 쉬움	기어간 중심거리가 정확해야 하므로 조립이 어려움
미끄럼률	치가 맞물리는 피치점에서 미끄럼률은 0이나, 이뿌리와 이끝쪽으로 갈수록 미끄럼률과 마모가 증가함	치가 맞물리는 모든 구간에서 미끄럼률이 일정하고, 마모가 균일하게 생김
절삭 공구	제작이 쉽고 싸다	제작이 어렴고 구름원의 크기에 따라 많은 커터가 필요하다
절삭 방법	다소 오차가 생겨도 되며, 전위절삭 가능	정확하고 정밀한 절삭이 필요하며, 전위절삭 불가
용도	전동용 기어등 일반적인 용도에 쓰임	시계나 계측기 등 정밀한 기계에 사용됨